Програма вступного іспиту до аспірантури із спеціальності 01.05.02 «Математичне моделювання та обчислювальні методи»

Математичне моделювання

  1. Фізичне та математичне моделювання. Детерміновані, евристичні, імітаційні та ймовірністні моделі. Внутрішні та зовнішні збурення.

  2. Математичні моделі динамічних процесів із зосередженими параметрами. Дискретні та неперервні процеси. Фазовий стан і керування. Коректність моделей.

  3. Методи ідентифікації параметрів математичних моделей.

  4. Методи статистичного оцінювання параметрів моделі. Методи перевірки гіпотез.

  5. Проблеми моделювання динамічних процесів дискретного та неперервного аргументів.

  6. Проблеми моделювання просторово-часових процесів в обмежених просторових областях та на обмеженому часовому інтервалі.

  7. Методи ідентифікації динамічних моделей при неповних спостереженнях.

  8. Методи оцінки фазового стану при неповних спостереженнях. Фільтри Калмана-Бьюсі для дискретних і неперервних систем.

  9. Математичні моделі динамічних процесів з розподіленими параметрами. Коректність моделей.

  10. Проблеми моделювання задач керування та спостереження динамічних систем з розподіленими параметрами.


Математичні методи оптимізації

  1. Задачі математичного програмування.

  2. Методи лінійного та нелінійного програмування.

  3. Методи негладкої оптимізації (найшвидшого спуску, узагальнених градієнтів).

  4. Алгоритми стохастичної оптимізації.

  5. Задачі варіаційного числення.

  6. Критерії керованості, спостережуваності та ідентифікованості систем керування.

  7. Дослідження стійкості систем керування. Критерії стійкості. Аналітичний синтез регуляторів.

  8. Принцип оптимальності Беллмана. Метод динамічного програмування.

  9. Принципи максимуму для лінійних і нелінійних задач оптимального керування.

  10. Зв’язок принципу максимуму із класичними задачами варіаційного числення та динамічним програмуванням.


Програмне та інформаційне зебезпечення (основні можливості та функції)

  1. Операційні системи.

  2. Засоби програмування (процедурно та об’єктно орієнтовані).

  3. Інформаційні системи. Пакети програм і системи підтримки прийняття рішень.

  4. Бази даних і системи керування базами даних.

  5. Інтелектуальні, експертні системи.

  6. Технологія обчислювального експерименту в науковому дослідженні. Планування експериментів.


Інтерполяція та середньоквадратичне наближення функцій. Чисельне диференціювання та інтегрування

  1. Наближення функцій.

  2. Загальна теорія похибок. Поліноми Лагранжа, Ерміта, Чебишева.

  3. Формула Чебишева.

  4. Екстраполяція.

  5. Інтерполяція функцій кубічними сплайнами.

  6. Чисельне диференціювання з застосуванням формул Ньютона, Стірлінга.

  7. Інтерполяційні квадратурні формули.

  8. Квадратурні формули Ньютона-Котеса.

  9. Формула Чебишева для чисельного інтегрування. Метод квадратури Гаусса.


Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Алгебраїчна проблема власних значень

  1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Обумовленість матриць і систем.

  2. Ортогональні матриці. Елементи матриці обертання, відображення. Канонічна формула Жордана.

  3. Власні вектори і власні значення матриць. Властивості сингулярних матриць.

  4. Методи розв’язку узагальненої проблеми на власні значення. Зведення до звичайної задачі на власні значення.

  5. Коректні та некоректні постановки задач. Класифікація коректно поставлених задач.

  6. Метод Гаусса. Метод квадратних коренів. Метод ортогоналізації. Оцінка достовірності розв’язків, отриманих прямими методами.

  7. Однокрокові ітераційні процеси (простої ітерації, Гаусса-Зейделя, верхньої релаксації). Прискорення збіжності ітерації.

  8. Двокрокові ітераційні процеси (явний двокроковий, напівітераційний Чебишева). Достовірність розв’язків, отриманих ітераційними методами.

  9. Похибка реалізації обчислювальних алгоритмів на комп’ютерах.


Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з прямокутними та квадратними виродженими матрицями

  1. Узагальнені розв’язки систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Псевдообернені матриці. Сингулярне розкладання матриць.

  2. Методи А.Н. Тихонова, сингулярного розкладання, псевдообернення матриць. Нормалізований процес і його застосування для розв’язку систем з довільними прямокутними матрицями.

  3. Ітераційні методи розв’язку систем з неєдиним розв’язком і сумісних систем з симетричними матрицями.

  4. Ітераційні методи отримання узагальнених розв’язків несумісних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.


Методи розв’язування систем нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

  1. Нелінійні рівняння з одним невідомим.

  2. Знаходження комплексних коренів, трансцендентних рівнянь. Чисельне розв’язування поліноміальних рівнянь.

  3. Розв’язок систем нелінійних рівнянь. Методи Ньютона, простої ітерації, квазіньютонівського типу, спуску. Одно- і двохкрокові градієнтні методи.


Чисельні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь

  1. Постановка задачі Коші. Існування і єдність розв’язку. Стійкість розв’язків.

  2. Однокрокові методи чисельного інтегрування задачі Коші. Явний і неявний методи Ейлера, Рунге-Кутта. Методи Ейлера-Коші.

  3. Багатокрокові методи чисельного інтегрування задачі Коші. Методи Адамса, Гіра, Куртіса-Хіршенфельда.

  4. Збіжність і стійкість багатокрокових методів.


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку

  1. Постановка крайових задач. Проблема існування, єдиності і коректності для крайових задач.

  2. Проекційні методи розв’язку. Оцінка похибки.

  3. Метод скінчених різниць. Дискретизація, апроксимація, стійкість, збіжність розв’язку.

  4. Метод скінчених елементів. Дискретизація, збіжність методу. Оцінка числа обумовленості матриць. Базисні функції. Достовірність розв’язків.


Чисельні методи розв’язування диференціальних рівнянь у частичних похідних

  1. Постановки задач. Крайові, початкові умови.

  2. Узагальнені розв’язки.

  3. Явні та неявні різницеві схеми.

  4. Метод скінчених елементів.

  5. Метод скінчених різниць. Збіжність методів.

  6. Обчислення власних значень і власних функцій деяких диференціальних операторів. Постановка задачі.

  7. Ітераційні методи розв’язування різницевих задач на власні значення.

  8. Схеми методу скінчених елементів та їх збіжність.


ЛІТЕРАТУРА

  1. Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1975. – 631 с.

  2. Башняков О.М., Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість та структурна оптимізація динамічних систем. К.: Видавничо-поліграфічний центр “Київський університет”. – 197 с.

  3. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. К.: Вища школа. 1983. – 19-37 c.

  4. Брябрин В.М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. М.: Наука. 1988. – 272 с.

  5. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф. Основы теории управления. К.: Вища школа. 1975. – 328 с.

  6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука. 1984. – 320 с.

  7. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Математические модели и методы расчета задач с разрывными решениями. К.: Наукова думка. 1995. – 262 с.

  8. Згуровский М.З., Скопецкий В.В., Хрущ В.К., Беляев Н.М. Численное моделирование распространения загрязнения в окружающей среде. К.: Наукова думка. 1977. – 365 с.

  9. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука. 1978. – 512 с.

  10. Кузьмичев Д.А., Радкевич М.А., Смирнов А.Д. Автоматизация экспериментальных исследований: Учебное пособие для вузов. М.: Наука. 1983. – 391 с.

  11. Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробагатько А.А. Методы вычислений (Численный анализ. Методы решения задач математической физики). К.: Вища школа. 1977. – 408 с.

  12. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1989. – 608 с.

  13. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Дифференциальные уравнения. К.: Наукова думка. 1988. – 343 с.

  14. Молчанов И.Н. Николенко Л.Д. Основы метода конечных елементов. К.: Наукова думка. 1989. – 272 с.

  15. Представление и использование знаний/Х.Уэно, Т.Кояма, Т. Окамото и др. М.: Наука. 1982. – 144 с.

  16. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука. 1982. – 144 с.

  17. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука. 1987. – 288 с.

  18. Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах. – К.: Наукова думка. 1991. – 432 с.

  19. Система управления базами данных и знаний /Наумов А.Н., Вандров А.М., Иванов В.К. и др. М.: Финансы и статистика. 1991. – 352 с.

  20. Скопецький В.В., Стоян В.А., Кривонос Ю.Г. Математичне моделювання прямих та обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами. К.: Наукова думка. 2002. 361 с.

  21. Стоян В.А. Курс лекцій по моделюванню задач динаміки систем з розподіленими параметрами. К.: ВІТУС. 2001. 131 с.

  22. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Л.: Физматгиз. 1963. – 734 с.

  23. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. К.: Наукова думка. 1992. – 383 с.

  24. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. Искусство и наука. М.: Мир. 1978. – 73-77 c.

  25. Шор Н.З.,Стеценко С.И. Квадратично экстремальные задачи и недифференцируемая оптимизация.К.:Наукова думка. 1989. – 208 с.